Efeito Doppler no Plano

Olá, como vai?

Neste artigo, apresento uma demonstração para uma variação do Efeito Doppler Unidimensional. – o Efeito Doppler no Plano ( movimento retilíneo da fonte e/ou observador).

A primeira figura mostra uma fonte F (emissor) de ondas sonoras e um observador O (receptor), e este passa a se movimentar retilineamente com velocidade Vo no plano em que o segmento FO está.

f1

Vamos admitir que a velocidade do observador seja bem menor que a velocidade do som e que o ar esteja em repouso em relação à Terra. No momento capturado pela figura, o observador acaba de receber uma frente de onda sonora. Se ele permanecesse em repouso, receberia outra frente de onda T segundos depois desta primeira, sendo que T é o período da onda. Mas como ele está se movendo e da forma como isto acontece, ele vai receber outra frente de onda em um ponto mais a esquerda em relação ao ponto em que se encontrava inicialmente, como mostra a próxima figura.

f2

Como estamos admitindo que a velocidade do observador é bem menor que a do som, b é bem maior do que c, os ângulos indicados são pequenos e, por aproximação, podemos admitir que a seja igual a b. Com estas observações, podemos continuar com o desenvolvimento. Da figura, tiramos que:

f3

Como podemos ver, FO é a distância entre a fonte e o observador antes deste começar a se movimentar. E esta distância corresponde à distância percorrida pela frente de onda sonora em um período (comprimento de onda)  e pode ser facilmente determinada pelo produto da velocidade do som e este período. Além disto, b será o produto da velocidade do som pelo período percebido pelo observador, que vamos chamar de T’, e vai ser o produto da componente da velocidade do observador na direção que une F e O, que vamos chamar de VoFO, por T’. Assim,

f4

Colocando T’ em evidência no membro da direita, lembrando que período é o inverso da frequência e isolando a frequência aparente f’, chegamos a:

f5

Observem que é o mesmo resultado do movimento em uma dimensão, com adaptação da parcela referente à velocidade do observador, que foi substituído pela sua componente na direção que une a fonte ao observador no início do movimento. Parece-me natural admitir que, no caso em que o observador estiver se afastando da fonte, o sinal da expressão será negativo (tente provar isto – é um bom exercício).

Agora, e se a fonte passar a se movimentar e o observador ficar em repouso?

f6

A ideia é semelhante à anterior. Vamos ver.

f7

Com a fonte em repouso, o som percorre c + b. Com a fonte em movimento, após um período, o som percorrerá a. Pelos motivos já apresentados, a será admitido como igual a b. Como c é o produto da projeção da velocidade da fonte na direção do segmento FO por T e a é o produto da velocidade do som por T’, seguindo raciocínio semelhante ao utilizado anteriormente, acredito que você consiga chegar à equação. E quando chegar, vai ver que é a mesma que você já conhecia para o Efeito Doppler  em movimento unidimensionais, trocando a velocidade da fonte por sua componente da direção já citada.

Abraço,

Prof. Douglas Almeida

2 Comentários

  • Giovani H. Ceotto

    Muito boa sua explicação Prof. Douglas Almeida! Tenho apenas uma duvida, caso a distância entre o observador e a fonte for grande o suficiente em relação á velocidade tangencial do observador, isto é, a velocidade no eixo y, considerando ambos o observador e a fonte no eixo x, poderíamos fazer a mesma aproximação? Faço a pergunta porquê mesmo se a velocidade do observador for quase igual à do som, se a frente de onda circular que chegasse no observador fosse muito grande(raio muito grande), poderia ser considerada plana, e assim podemos usar o efeito doppler comum, correto?

Deixe uma resposta