Espelho Esférico – Condições de Gauss

Olá, como vão?

Você já estudou alguma coisa de Espelho Esférico? Em caso afirmativo, já deve ter usado os chamados raios notáveis, não é? Um deles é o que chega ao espelho com direção de propagação paralela ao eixo principal. Após a reflexão, qual será sua nova direção? Você pode estar pensando assim: esta é moleza! Sua direção é tal que ele passa pelo foco, que é o ponto médio entre o centro de curvatura do espelho e o vértice, como indica a figura abaixo.

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Mas será que é isto mesmo? Depende!

Vamos supor que o tamanho do segmento AC (h)  indicado na próxima figura seja R.sen60º, onde R é o raio de curvatura, que corresponde ao tamanho dos segmentos CV e CI (que são raios da esfera que “originou” o espelho). Desta forma, o ângulo i vale 60º (lembre-se de que sen i é a razão entre o cateto oposto pela hipotenusa no triângulo retângulo).

ee_3Como CI é um dos raios da esfera, ele é perpendicular à tangente ao ponto I. Por este motivo, de acordo com a 2ª Lei da Reflexão, o ângulo de reflexão, medido em relação ao raio, também vale i.

A próxima figura nos indica isto.

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Olhando para ela, é provável que você esteja incomodado. O raio sofre reflexão e vai para o vértice? Isto é possível? Não só é possível, como é exatamente o que acontece, neste caso. A figura está fora de escala, propositalmente (cuidado com a confiança nas figuras!).

É fácil perceber que o ângulo formado entre IC e CV também é i (alterno interno com o ângulo de incidência). Como i é 60º, o triângulo CIV é equilátero, certo? Sendo assim, seus lados têm medidas iguais e, portanto, o raio tem que passar pelo vértice porque ele cruza o eixo principal a uma distância do ponto C que é o raio de curvatura (já que IC é o raio de curvatura).

Então, como é que fica aquela história de raio paralelo que passa pelo foco. Você estava fazendo tudo errado, ou então você acha que seu professor não sabe nada e te ensinou errado? Calma. Esta propriedade é válida, mas dentro de certas condições que são conhecidas como condições de Gauss. É necessário que o raio incidente esteja próximo ao eixo principal.

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Na figura logo acima, vamos admitir que a distância AC seja pequena, tal que o ângulo entre IC e CV seja menor que 5º (não seja “engraçadinho’, me perguntando: e se fosse 6º? Estamos falando de aproximação e o limite vai depender da precisão desejada. Então, 5º é um “bom valor”). Graças a esta condição, podemos dizer que IV é quase um segmento de reta (isto é uma aproximação). Então, a figura IVC poderá ser tratada como um triângulo.

Para o triângulo ICF, i + i + β = 180º.  E β + α também é 180. Assim, α = 2i. Quando estamos trabalhando com ângulos menores que 5º, o ângulo, em radianos, é aproximadamente, o valor se sua tangente (e de seu seno) .

A tg de i (ICF) é IV/CV e a tg de  α é IV/FV. Assim, 2 IV/CV é igual a IV/FV – o que nos leva à conclusão de que FV = CV/2, ou que significa que  F é o ponto médio do segmento CV.

Se você não entendeu p#(%*¨&*@ nenhuma do que foi apresentado, releia o artigo, tente fazer sozinho e, principalmente, não se esqueça de que o raio paralelo passa pelo foco apenas se as condições de Gauss forem atendidas, ok?!

Abraço a todos,

Prof. Douglas Almeida

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