Princípios de Conservação – Problema Desafiador

Olá, como vão?

O professor Orlando Ramirez, no grupo Sociedade Peruana de Docentes de Física (Facebook), propôs um belo problema de Mecânica. Decidi fazer uma resolução adaptada e para acompanhá-la, é necessário que o leitor tenha conhecimentos sobre os  Princípios da Conservação da Energia Mecânica, da Conservação do Momento Linear (Quantidade de Movimento) e da Conservação do Momento Angular. O problema é o seguinte:

A figura mostra a vista aérea de um sistema constituído de duas esferas puntiformes idênticas, que são ligadas por uma mola ideal cujo comprimento natural é L, que se encontra em repouso sobre uma superfície horizontal onde o atrito é desprezível. Em algum momento, cada uma delas é impulsionada e adquire as velocidades mostradas na figura, sendo que a energia cinética de cada uma é igual a E. Se a deformação máxima experimentada pela mola é x, determinar a constante elástica da mola.

f1

As forças que agem em cada esfera são o Peso, a Normal e a Força Elástica. O Peso tem sua ação anulada pela Normal e, assim, a resultante é a Força Elástica. Como a Força Elástica é conservativa, a Energia Mecânica do sistema será constante. Além disto, esta força é interna ao sistema e, por este motivo, não é capaz de impulsioná-lo (veja que estamos fazendo a análise imediatamente após as duas esferas terem adquirido as velocidades indicadas). Então, a Quantidade de Movimento do sistema vai ser mantida. E também, estas forças têm sempre a direção que une as duas esferas – elas são forças centrais, em relação ao centro de massa. Por isto, em relação a ele, o Momento Angular é conservado.

Com o exposto, parece-me ter ficado claro a conveniência em se adotar o centro de massa como referência. Desta forma, precisamos encontrar a velocidade do centro de massa e, então, encontrar a velocidade de cada esfera em relação a ele. Para isto, podemos usar a relação:

f2

A quantidade de movimento do centro de massa é a quantidade de movimento do sistema, que é a soma (vetorial) das quantidades de movimento das partículas.

f3

Assim, a velocidade do centro de massa é v√2/2. A velocidade da esfera A, em relação ao centro de massa, é dada por:

f4

f5

O triângulo é retângulo isósceles. Por isto, VA,C é V√2/2, e sua orientação é dada pela figura. Se utilizarmos a mesma estratégia para encontrar a velocidade de B, em relação ao centro de massa, vamos verificar que seu módulo também será V√2/2 e sua orientação é apresentada na próxima figura.

f6

Temos apenas uma mola ligando as esferas, mas a figura sugere duas molas. Isto é proposital – uma mola de constante elástica K produz o mesmo efeito que duas molas ligadas em série de constante 2K. Desta forma, podemos analisar o movimento de uma das esferas em torno do centro de massa – o que facilita a resolução.

A figura seguinte mostra o momento em que a deformação vai ser máxima.

f7

E, como o Momento Angular é constante (lembrando que, para uma partícula, seu valor pode ser encontrado com a relação m.v.r.senθ, onde m é a massa da partícula, v é o valor de sua velocidade, r é tamanho do segmento que une a partícula ao ponto central – que para nós será a origem, e senθ é o ângulo entre este segmento e a velocidade), podemos afirmar que:

f8

Observe que o segundo ângulo é 90º porque, caso não fosse, a mola ainda estaria sendo comprimida, já que haveria uma componente da velocidade na direção do segmento e, naturalmente, a deformação não teria atingido seu máximo valor.

Lembrando que Lf = L – x, isolando u, que é a velocidade final, ficamos com:

f9

Enfim, basta aplicarmos a Conservação de Energia Mecânica, lembrando-nos de que para a Energia Cinética inicial, não podemos usar o valor E do enunciado, porque esta é a Energia Cinética em relação à Terra e, para a deformação na relação da Energia Potencial Elástica, precisamos usar x/2, pois estamos analisando uma das metades da mola. Fazendo as devidas substituições, manipulações e isolando K, chegamos a

f10E aí, entenderam? Espero que sim, mas se você está começando a estudar Física, não se assuste (ainda vai ficar pior, rsrsrsrsrs….)

Abraço a todos,

Prof. Douglas Almeida

1 Comentário

  • Hugo Luyo Sánchez

    Debo aclarar que este problema fue propuesto por Abnus Singh, reconocido profesor de física de la India y autor de varios textos de física, este problema fue colocado por primera vez en la página de facebook EOF (escola olimpica de física) como parte del entrenamiento para la OPB, el primero en enviar solución fue el brasileño Lucas Lugao Guimaraes actual ingresante del ITA.
    Pueden ver la lista completa de problemas en la página web que coloco en este comentario, el problema original aún no es resuelto esperamos entonces su colaboración.

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