Problema de Gravitação com MHS

Olá, como vão?

Esta questão que proponho, envolve Gravitação (que será analisada sob o prisma da Física Clássica)  e MHS. Seu enunciado é o seguinte:

(Einsteinmania 2014 – adapatado de OAF 2009) Duas estrelas idênticas orbitam ao redor do centro de massa do sistema formado por elas. Um planetoide de massa bem menor que a massa de cada uma das estrelas oscila ao longo do segmento que passa pelo referido centro de massa e é perpendicular ao plano de órbita das estrelas, de tal forma que a amplitude desta oscilação é bem menor que a distância entre as estrelas.

Calcule a razão entre o período de órbita das estrelas e o período de oscilação do planetoide.

Resolução:

Primeiramente, vamos calcular o período de órbita das estrelas, que passamos a chamar de T. A distância entre elas será 2R e a massa de cada, M. A força gravitacional é a resultante centrípeta, assim

As forças que agem no planetoide também são gravitacionais e apresentadas na figura

A resultante das componentes destas forças gravitacionais, na direção do segmento de oscilação, representa a força de restituição do MHS. Chamando a massa do planetoide de m, a amplitude de oscilação de x e usando o fato de que o centro de massa do sistema formado pelas estrelas esteja no ponto médio do segmento que as une, temos

Por fim, basta fazermos a razão entre (1) e (4) e chegarmos a

Abraço a todos,

Prof. Douglas Almeida

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