Demonstração do Teorema da Energia Cinética

Olá, como vai?

Neste artigo, vou fazer uma demonstração do Teorema da Energia Cinética de modo acessível àqueles que não conhecem as técnicas do Cálculo. Na figura abaixo, uma partícula (caso não saiba, veja qual diferença entre partícula e corpo extenso) está sujeita à força resultante F enquanto sofre deslocamento d. A força tem intensidade constante e o ângulo entre ela e a direção da velocidade (que aqui coincide com a direção do deslocamento total) também é constante.

tec_01Com estas condições, o trabalho da força é igual ao produto da componente da força na direção do deslocamento pelo deslocamento (ou então igual ao produto da força pela componente do deslocamento na direção da força). Muitos estudantes conhecem esta técnica pela fórmula

tec_02onde W é o trabalho; F, a intensidade da força; d, o deslocamento e θ, o ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento.

Mas se a força e/ou o ângulo não forem constantes? Aí a “coisa” fica diferente. Um pouco de bom senso matemático já mostra isto. Qual valor de força usaríamos, já que teremos vários? O mesmo raciocínio vale para o ângulo.

Esta fórmula é uma consequência da definição de trabalho para a situação particular que descrevemos. Na verdade, teríamos que dividir a trajetória em pedaços infinitamente pequenos, calcular o trabalho em cada um destes pedaços e depois somar. O problema é que esta divisão gera infinitos pedaços. É possível somá-los? Por incrível que possa parecer, é possível!

Para entender a ideia, consideremos a próxima figura

tec_03

A partícula percorre a trajetória, indo do ponto A ao D. As intensidades das forças F1, F2, F3 e F4 são constantes, mas diferentes entre si. Além disto, o ângulo entre a direção de F1 e a direção da velocidade não muda no trecho AB, mesmo com a mudança da direção de ambos. Isto vale para outras forças, nos trechos equivalentes. Por este motivo, a projeção da força na direção da velocidade em cada instante vai causar aceleração escalar constante em cada trecho. Com este panorama, temos três movimentos uniformemente variados, que podem ser diferentes entre si e que perfazem o movimento geral.

Para o trecho AB, temos:

tec_04onde WAB é o trabalho no trecho AB; F1’, a projeção de F1 na direção da velocidade e dAB, o deslocamento entre A e B.

E,

tec_05onde m é a massa da partícula e a1, a aceleração escalar.

Como esta aceleração escalar é constante, podemos usar a Equação de Torricelli, isolando tal aceleração.tec_06onde VB é a velocidade escalar no ponto B e VA, a velocidade escalar no ponto A.

Substituindo 3 em 2 e o resultado, em 1, ficamos com:

tec_07Naturalmente, o trabalho nos outros trechos poderá ser expresso da mesma forma, trocando apenas os índices.

Assim, o trabalho total será a soma dos trabalhos nos trechos

 

tec_08O termo m.v2/2 é chamado de energia cinética. Então, para as condições propostas, o trabalho total pode ser calculado diretamente como a variação da energia cinética entre o ponto de chegada e o ponto de partida.

Mas se a intensidade da força não fosse constante nos trechos e/ou o ângulo mudasse? Quanto menor o trecho considerado, menor seria a possível variação de ambos, certo?! Então, se dividirmos o trajeto infinitamente, obteremos trechos infinitamente pequenos, e, em cada um deles, poderemos considerar que a intensidade da força e o referido ângulo serão constantes. Isto permiti que aproveitemos o resultado mesmo que, no geral, a intensidade da força e/ou o ângulo mudem.

Mas, assim, voltamos à questão – como somar infinitos termos. Observem as simplificações no resultado anterior. Independentemente do número de termos, os termos intermediários serão cancelados e ficaremos apenas com os termos extremos, que representam a energia cinética final e inicial.

Portanto, quando temos uma partícula sujeita à força resultante, o trabalho desta resultante é igual à variação da energia cinética. Este é o Teorema da Energia Cinética.

Abraço,

Prof. Douglas Almeida

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