Teorema da Energia Cinética

Neste artigo, vamos desenvolver o Teorema da Energia Cinética para que aqueles que não conhecem as técnicas de Cálculo também possam entender.

Na figura abaixo, uma partícula está sujeita à força F, enquanto sofre deslocamento d. A força tem intensidade constante e o ângulo entre ela e a direção da velocidade (que aqui coincide com a direção do deslocamento) também é constante.

tec_01Com estas condições, o trabalho da força é igual ao produto da sua componente na direção do deslocamento, pelo deslocamento (ou então, igual ao produto da força pela componente do deslocamento, na direção da força). Muitos estudantes conhecem esta técnica pela fórmula

tec_02onde W é o trabalho; F, a intensidade da força; d, o deslocamento e θ, o ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento.

Mas se a força e/ou o ângulo não forem constantes? Aí a “coisa” fica diferente. Um pouco de bom senso matemático já mostra isto. Qual valor de força usaríamos, já que teríamos vários? O mesmo raciocínio vale para o ângulo.

Esta fórmula é uma consequência da definição de trabalho para a situação particular que descrevemos.

De modo geral, teríamos que dividir a trajetória em trechos infinitamente pequenos, calcular o trabalho em cada um deles e depois somar. O problema é que esta divisão gera infinitos trechos. Mas seria possível somá-los?

Sim, seria!

Para entender a ideia, consideremos a próxima figura

tec_03

A partícula percorre a trajetória, indo do ponto A ao D. As intensidades das forças F1, F2, F3 e F4 são constantes, mas diferentes entre si. Além disto, o ângulo entre a direção de F1 e a direção da velocidade não muda no trecho AB, mesmo com a mudança da direção de ambos. Isto vale para outras forças, nos trechos equivalentes. Por este motivo, a projeção da força na direção da velocidade em cada instante vai causar aceleração escalar constante em cada trecho. Com este panorama, temos três movimentos uniformemente variados – diferentes entre si, que levam ao movimento geral.

Para o trecho AB, temos:

tec_04onde WAB é o trabalho no trecho AB; F1’, a projeção de F1 na direção da velocidade (do deslocamento) e dAB, o deslocamento entre A e B.

E,

tec_05onde m é a massa da partícula e a1, a aceleração escalar.

Como esta aceleração escalar é constante, podemos usar a Equação de Torricelli, isolando tal aceleração.tec_06onde VB é a velocidade escalar no ponto B e VA, a velocidade escalar no ponto A.

Substituindo 3 em 2 e o resultado disso, em 1, ficamos com:

tec_07Naturalmente, o trabalho nos outros trechos poderá ser expresso da mesma forma, trocando apenas os índices.

Assim, o trabalho total será a soma dos trabalhos nos trechos (o trabalho é uma grandeza escalar)

tec_08O termo m.v2/2 é chamado de Energia cinética. Então, para as condições propostas, o trabalho total pode ser calculado diretamente como a variação da energia cinética entre o ponto de chegada e o ponto de partida.

Mas, se a intensidade da força não fosse constante nos trechos e/ou o ângulo mudasse?

Quanto menor o trecho considerado, menor seria a possível variação de ambos. Então, se dividirmos o trajeto infinitamente, obteremos trechos infinitamente pequenos, e, em cada um deles, poderemos considerar que a intensidade da força e o referido ângulo serão constantes. Isto permiti que aproveitemos o resultado mesmo que, no geral, a intensidade da força e/ou o ângulo mudem.

Mas, assim, voltamos à questão – como somar infinitos termos?

Observe as simplificações no resultado anterior. Independentemente do número de termos, os termos intermediários serão cancelados, restando apenas os termos extremos, que representam a energia cinética final e inicial.

Portanto, quando temos uma partícula (tamanho desprezível – massa constante), o trabalho da resultante é igual à variação da energia cinética.

Este é o Teorema da Energia Cinética.

Prof. Douglas Almeida

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